初中几何模型 - 8 字相似模型典例 1 操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现等腰△ABC（AC=BC=13，AB=10）、CD 为∠ACB 的角平分线、E 在 AC 上（CE=7），重置所有元素的默认状态。

2. 全显示构造点击 “全显示” 按钮，可一次性展示解题核心构造：

• 等腰三角形性质标识（CD 是角平分线，故 CD⊥AB 且 AD=BD=5）；

• CD 的长度标注（由勾股定理得 CD=12）；

• 辅助线（如过 D 作 DG∥AC 交 BE 于 G）；

• 8 字相似标识（△DGF∽△CEF）；

• 线段比例标注。

1. 分步演示点击 “下一步” 按钮，按解题逻辑逐步呈现流程：

• 第一步：由 AC=BC、CD 是角平分线，得 AD=BD=5，CD⊥AB（等腰三角形 “三线合一”），用勾股定理计算 CD=√(13²-5²)=12；

• 第二步：由 CE=7、AC=13，得 AE=6；过 D 作 DG∥AC 交 BE 于 G，由△BDG∽△BAE（DG∥AC），得相似比 BD/BA=5/10=1/2，故 DG=AE×1/2=3；

• 第三步：由 DG∥CE，得△DGF∽△CEF（8 字相似），相似比 DG/CE=3/7，故 DF/CF=3/7；

• 第四步：结合 CD=DF+CF=12，设 CF=7x、DF=3x，得 10x=12，解得 x=1.2，故 CF=8.4（即 42/5）；点击 “上一步” 按钮，可回退至前一推导环节。

二、用途说明与应用场景（一）学生端（针对 “等腰三角形 + 角平分线 + 8 字相似” 场景）

1. 掌握等腰三角形性质：明确 “角平分线 = 中线 = 高”，能结合勾股定理计算线段长度；

2. 构造辅助线触发相似：学会通过作平行线（如 DG∥AC）构造 8 字相似模型；

3. 应用相似比例计算：通过相似三角形的对应边比例，结合已知线段建立方程求解。

（二）教师端（针对 “等腰三角形与 8 字相似的融合教学” 场景）

1. 演示 “三线合一” 的应用：通过分步按钮展示等腰三角形角平分线的多重性质，强化基础图形性质的应用；

2. 引导辅助线构造：通过全显示的辅助线，帮助学生理解 “平行线→相似” 的构造逻辑；

3. 整合多知识点：将等腰三角形性质、勾股定理、8 字相似串联，提升学生的综合解题能力。

三、教学应用案例

1. 情境导入（4 分钟）展示初始图形，提出问题：“等腰△ABC 中，CD 是角平分线，E 在 AC 上，BE 交 CD 于 F，已知 CE=7，如何结合 8 字相似求 CF 的长度？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导识别 “AC=BC、CD 是角平分线” 的核心条件；

• 点击 “全显示”，展示 CD⊥AB 及长度计算，暂停提问：“等腰三角形角平分线有哪些性质？”；

• 点击 “下一步”，演示辅助线 DG∥AC 的构造，推导△BDG∽△BAE 的相似比，暂停提问：“DG 的长度如何计算？”；

• 继续点击 “下一步”，展示△DGF∽△CEF 的 8 字相似，建立比例方程求出 CF=42/5。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：描述等腰三角形中 CD 的性质，并计算 CD 的长度；

• 进阶层任务：说明辅助线 DG 的作用，并推导△DGF 与△CEF 的相似比。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题先利用等腰三角形角平分线的‘三线合一’性质求出 CD 长度，再通过作平行线构造 8 字相似模型，结合相似比例建立方程，最终求出 CF 的长度，是等腰三角形性质与 8 字相似的综合应用。”