初中几何模型 - 射影定理典例 8（矩形 + 垂线 + 三角函数的射影定理长度求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现矩形 ABCD、DE⊥AC（垂足为 E），标注 AD=4，同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注矩形的角互余关系、∠ADE 与∠ACD 的等量关系标识、sin∠ADE 对应的边比例（对边 / 斜边）、射影定理关联的线段关系。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先明确矩形中∠ADC=90°，结合 DE⊥AC 推导∠ADE=∠ACD（角的互余转换），再利用 sin∠ADE=sin∠ACD=CD/AC，结合勾股定理 AC²=AD²+CD²，代入 AD=4 列方程求解 CD（即 AB 的长度）；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如角的互余转换、三角函数的边对应关系）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “矩形 + 三角函数 + 射影定理的长度求解” 场景）

• 理解角的互余转换：掌握矩形中 “DE⊥AC” 对应的角等量关系（∠ADE=∠ACD）；

• 掌握三角函数与几何定理的结合：明确 sin∠ADE 对应的边比例，结合勾股定理求解线段长度；

• 完成边长推导：通过角的转换、三角函数、勾股定理的结合，求出 AB 的长度。

1. 教师端（针对 “矩形 + 三角函数 + 射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “角的互余转换→三角函数边比例→勾股定理求解” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “矩形的角性质、DE⊥AC 的互余关系”，进阶层聚焦 “三角函数与勾股定理的结合计算”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理角关系” 与 “三角函数、勾股定理” 的综合应用，强化多知识点融合的解题思维。

三、教学应用案例（适配矩形 + 三角函数 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“矩形 ABCD 中，DE⊥AC 且 AD=4，已知 sin∠ADE 的值，如何结合角的互余转换与三角函数，求出 AB 的长度？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “矩形、DE⊥AC、AD=4” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“DE⊥AC 时，∠ADE 和∠ACD 为什么相等？”“sin∠ADE 对应的边比例是什么？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生结合三角函数与勾股定理列方程，求解 AB 的长度。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明 “DE⊥AC” 时∠ADE 与∠ACD 的等量关系及推导依据；

• 进阶层任务：推导 AB 的长度，并说明用到的角的互余转换、三角函数及勾股定理。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是矩形性质、角的互余转换、三角函数与勾股定理的综合应用，先通过互余关系转换角，再利用三角函数确定边比例，最后结合勾股定理求解 AB 的长度，是多知识点融合的典型几何题型。”