初中几何模型 - 射影定理典例 9（矩形对角线 + 垂线的射影定理参数求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现矩形 ABCD、对角线 AC 与 BD（交于 O）、DE⊥AC（垂足为 E），标注 BD=2√3 及 AE=3CE 的关系，同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注矩形对角线性质（AC=BD）、O 为 AC/BD 中点的标识、DE⊥AC 对应的射影定理关系（DE2=AE⋅CE）、AC 线段的拆分（AE=3CE）。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先由矩形对角线性质得 AC=BD=2√3，再设 CE=x、AE=3x，由 AC=AE+CE 得 4x=2√3 求出 x，最后代入射影定理DE2=AE⋅CE计算结果；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如矩形对角线的等量关系、线段的拆分设元）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “矩形对角线 + 射影定理的参数求解” 场景）

• 理解矩形对角线性质：明确矩形中对角线相等且互相平分的特点；

• 掌握射影定理的应用条件：识别 DE⊥AC 对应的射影定理关系（DE2=AE⋅CE）；

• 完成参数计算：通过线段拆分设元，结合矩形性质与射影定理求解DE2的值。

1. 教师端（针对 “矩形与射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “矩形性质→线段设元→射影定理计算” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “矩形对角线的等量关系、DE⊥AC 的几何意义”，进阶层聚焦 “线段设元与射影定理的结合计算”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 在矩形对角线场景中的应用，强化特殊图形性质与几何定理的融合思维。

三、教学应用案例（适配矩形对角线 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“矩形 ABCD 中，BD=2√3 且 AE=3CE，DE⊥AC，如何结合矩形性质与射影定理，求出DE2的值？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “矩形、BD=2√3、AE=3CE、DE⊥AC” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“矩形中 AC 和 BD 的关系是什么？”“DE⊥AC 能应用什么定理？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生通过设元拆分 AC，结合射影定理计算DE2。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明矩形中 AC 与 BD 的等量关系，以及 DE⊥AC 对应的射影定理；

• 进阶层任务：推导DE2的值，并说明用到的矩形性质、线段设元方法与射影定理。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是矩形性质与射影定理的综合应用，先利用矩形对角线相等确定 AC 的长度，再通过线段设元拆分 AE 与 CE，最后代入射影定理计算DE2，是特殊图形性质与几何定理结合的典型题型。”