初中几何模型 - 一线三等角全等模型典例 6 操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至初始状态：平行四边形 ABCD 回归默认形态，AB=6、∠BAD=120°、CE=2 的条件复位，重置所有元素与解题步骤的展示状态。

2. 全显示构造点击 “全显示” 按钮，可一次性展示解题核心辅助构造：过 F 作 FG⊥BC 于 G，过 D 作 DH⊥BC 交 BC 的延长线于 H，形成 “一线三等角” 的直角三角形（△FGE≌△EHD），同时标注角的等量关系（∠FEG=∠EDH）与边的对应关系。

3. 分步演示点击 “下一步” 按钮，按解题逻辑逐步呈现流程：

• 第一步：由平行四边形性质，得∠B=60°、∠BCD=120°，设 BC 的长为x，则 BE=BC-CE=x−2；

• 第二步：由 FG⊥BC、DH⊥BC，得∠FGE=∠EHD=90°，结合∠DEF=120°，推导∠FEG=∠EDH（一线三等角的角等量关系）；

• 第三步：由 DE=EF，通过 AAS 判定△FGE≌△EHD，得 FG=EH、GE=DH；

• 第四步：结合 AB=6（即 BF+AF=6），计算 FG=BF・sin60°、DH=CD・sin60°（CD=AB=6），代入全等的边对应关系，建立方程求解x。点击 “上一步” 按钮，可回退至前一推导环节。

二、用途说明与应用场景（一）学生端（针对 “平行四边形 + 一线三等角全等” 场景）

1. 掌握平行四边形性质：能快速推导平行四边形的内角（如∠B=60°、∠BCD=120°）与边的关系（CD=AB=6）；

2. 应用一线三等角构造：理解在 “∠DEF=120°” 的条件下，通过作垂线构造直角三角形，形成 “一线三等角” 的全等模型；

3. 推导全等与边的关系：通过 AAS 判定三角形全等，将平行四边形的边、角条件转化为全等三角形的边对应关系，建立方程求解未知边。

（二）教师端（针对 “平行四边形载体下的一线三等角教学” 场景）

1. 演示构造逻辑：借助 “全显示” 功能，展示 “作垂线→构直角三角形→一线三等角” 的构造过程，帮助学生理解全等模型的搭建方法；

2. 关联平行四边形与全等：将平行四边形的边、角性质作为全等的前提条件，串联图形性质与全等判定；

3. 分层推导流程：通过分步演示，清晰呈现 “设未知数→构造全等→边对应转化→解方程” 的完整逻辑，强化几何与代数结合的解题思维。

三、教学应用案例

1. 情境导入（4 分钟）展示初始图形，提出问题：“平行四边形 ABCD 中，AB=6、∠BAD=120°，E 在 BC 上且 CE=2，DE=EF、∠DEF=120°，如何用一线三等角全等模型求 BC 的长？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导识别平行四边形的内角（∠B=60°）与边的关系（CD=AB=6），设 BC 为x；

• 点击 “全显示”，展示 FG⊥BC、DH⊥BC 的辅助构造，提问：“这组三角形（△FGE 与△EHD）全等的判定依据是什么？”（AAS：∠FGE=∠EHD，∠FEG=∠EDH，EF=DE）；

• 点击 “下一步”，推导 FG=EH、GE=DH 的对应关系，结合 FG=BF・sin60°、DH=CD・sin60°=3√3，建立方程求解x=8。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：描述平行四边形中∠B、∠BCD 的度数，说明 BE 与 BC 的关系；

• 进阶层任务：解释 “一线三等角” 模型中∠FEG=∠EDH 的推导依据，及△FGE≌△EHD 的边对应关系。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题结合平行四边形的边、角性质，通过作垂线构造‘一线三等角’的全等模型，将角的等量关系转化为边的对应关系，最终建立方程求出 BC 的长，是平行四边形与一线三等角全等模型的综合应用。”