初中几何模型 - 一线三等角全等模型典例 7 操作说明
一、操作指南
初始化布局点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至初始状态：抛物线回归默认形态，A (-3,0)、B (1,0)、C (0,-3) 点及对称轴 l（x=-1）复位，P、Q 点回到初始位置，重置所有解题步骤的展示状态。
全显示构造点击 “全显示” 按钮，可一次性展示解题核心辅助构造：过 P 作平行于 x 轴的直线，过 C 作该直线的垂线（垂足为 M），过 Q 作该直线的垂线（垂足为 N），形成一线三等角的全等三角形（△PMC≌△QNP），同时标注各点坐标的对应关系。
分步演示点击 “下一步” 按钮，按解题逻辑逐步呈现流程：
第一步：由抛物线对称轴公式得 l 为 x=-1，故 P 点坐标为 (-1, t)，C 点坐标为 (0, -3)；
第二步：由 PC 绕 P 旋转 90° 得 PQ，故 PC=PQ 且∠CPQ=90°，推得△PMC≌△QNP（AAS）；
第三步：由全等的边对应关系，推导 Q 点坐标为 (t + 2, t + 1)（逆时针旋转）或 (-t - 4, t - 1)（顺时针旋转）；
第四步：将 Q 点坐标代入抛物线方程 y=x²+2x-3，解方程得 t 的值，最终确定 Q 点坐标；点击 “上一步” 按钮，可回退至前一推导环节。
二、用途说明与应用场景（一）学生端（针对 “抛物线 + 旋转 90°+ 一线三等角全等” 场景）
掌握抛物线基础性质：能快速计算抛物线的对称轴，确定与坐标轴的交点坐标；
应用旋转与全等构造：理解 “线段绕点旋转 90°” 可通过构造一线三等角的直角三角形全等，将几何旋转转化为坐标的代数关系；
掌握坐标变换方法：通过全等三角形的边对应关系，推导旋转后点的坐标表达式；
完成代数求解：将坐标表达式代入抛物线方程，解方程得到符合条件的点坐标。
（二）教师端（针对 “代数几何结合 + 一线三等角的坐标系应用” 教学场景）
展示数形结合思维：将抛物线的几何性质与坐标代数运算结合，体现解析几何的核心方法；
演示全等构造的坐标转化：通过一线三等角全等模型，将 “旋转 90°” 的几何操作转化为可计算的坐标关系，打通几何与代数的关联；
分层推导流程：通过分步演示，清晰呈现 “几何构造→坐标推导→代数求解” 的完整逻辑，帮助学生建立几何变换与代数计算的思维链条。
三、教学应用案例
情境导入（4 分钟）展示初始图形，提出问题：“已知抛物线的交点与对称轴，点 P 在对称轴上，将 PC 绕 P 旋转 90° 得到 Q 点，如何利用一线三等角全等模型，求出 Q 在抛物线上时的坐标？”
操作演示（8 分钟）
点击 “初始化”，引导识别抛物线对称轴为 x=-1，C 点坐标为 (0,-3)，确定 P 点坐标形式为 (-1, t)；
点击 “全显示”，展示辅助垂线与△PMC≌△QNP 的构造，提问：“这组三角形全等的判定依据是什么？”（AAS：直角、等角、等线段）；
点击 “下一步”，推导 Q 点坐标表达式，提问：“坐标关系是如何由全等的边对应得到的？”；
继续点击 “下一步”，将 Q 点坐标代入抛物线方程，解方程得 t 的值，最终确定 Q 点坐标（如 (-2, -3)、(1, 0) 等）。
互动任务（3 分钟）
基础层任务：描述抛物线的对称轴及 C 点坐标，说明 P 点的坐标形式；
进阶层任务：推导 Q 点的坐标表达式，并解释一线三等角全等在坐标变换中的作用。
总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题结合抛物线的几何性质，通过一线三等角全等模型将‘PC 绕 P 旋转 90°’转化为 Q 点的坐标表达式，再代入抛物线方程求解，是代数与几何结合、全等模型在坐标系中应用的典型题型。”