初中几何模型 - 射影定理典例 2（菱形 + 射影定理的角度求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现菱形 ABCD（AB=8）、对角线 AC/BD 交于 O、OE⊥AB 于 E，标注 BE=2，同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注菱形的边性质（AB=AD=8）、对角线性质（AC⊥BD，O 为中点）、AE=AB-BE=6 的线段标识、Rt△AOB 的直角标识，以及射影定理对应的线段关系（OB²=BE・AB、AO²=AE・AB）。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先由菱形边相等得 AB=8，结合 BE=2 得 AE=6；再由菱形对角线性质得 AC⊥BD，故△AOB 为直角三角形；接着由 OE⊥AB，应用射影定理得 OB²=BE・AB=2×8=16，故 OB=4；最后在 Rt△AOB 中，OB=4=1/2 AB，得∠OAB=30°，从而∠DAB=2∠OAB=60°；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如菱形对角线性质、射影定理的应用）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “菱形 + 射影定理的角度求解” 场景）

• 理解菱形核心性质：掌握 “边相等、对角线互相垂直平分” 的菱形性质，明确△AOB 为直角三角形的依据；

• 掌握射影定理与角度推导：通过射影定理计算直角三角形的边，结合 “直角三角形中 30° 角对边为斜边的一半” 推导角度；

• 完成角度求解：通过菱形性质、射影定理、直角三角形角度规律的串联，求出∠DAB 的度数。

1. 教师端（针对 “菱形与射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “菱形性质→射影定理求边→直角三角形角度推导” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “菱形的边与对角线性质、射影定理的基本关系”，进阶层聚焦 “边与角度的关联推导”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 在菱形场景中的应用，强化特殊图形性质与几何定理的融合思维。

三、教学应用案例（适配菱形 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“菱形 ABCD 中，AB=8 且 BE=2，OE⊥AB，如何结合菱形性质与射影定理，求出∠DAB 的度数？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “菱形、BE=2、OE⊥AB” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“菱形的对角线有什么性质？”“OE⊥AB 时，射影定理能得到什么边的关系？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生通过直角三角形的边关系推导∠DAB 的度数。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明菱形的边与对角线性质，以及 OE⊥AB 对应的射影定理关系；

• 进阶层任务：推导∠DAB 的度数，并说明用到的菱形性质、射影定理与直角三角形角度规律。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是菱形性质与射影定理的综合应用，先通过菱形性质确定直角三角形，再利用射影定理计算边的长度，最后结合直角三角形的角度规律推导∠DAB，是特殊图形性质与几何定理结合的典型题型。”