初中几何模型 - 射影定理典例 5（矩形对角线 + 垂线的射影定理长度求解问题）操作说明

一、操作指南

1. 初始化布局

• 点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现矩形 ABCD、AE⊥BD（垂足为 E）、对角线 AC 与 BD 交于 O，标注 BE:ED=1:3、AD=6cm，同时清除所有解题辅助线与构造元素。

1. 全显示构造元素

• 点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注矩形对角线性质（AC=BD、O 为 BD 中点）、BE:ED=1:3 对应的线段设元标识、AE⊥BD 对应的射影定理关系（AD2=DE⋅BD、AE2=BE⋅DE）。

1. 分步构造展示

• 点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先利用矩形对角线互相平分，设 BE=x、ED=3x，则 BD=4x，O 为 BD 中点故 BO=2x，进而得 EO=BO-BE=x；再结合 “∠BAD=90°、AE⊥BD”，应用射影定理AD2=DE⋅BD，代入 AD=6、DE=3x、BD=4x 计算得 x 的值；最后应用射影定理AE2=BE⋅DE，计算 AE 的长度；

• 点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如矩形对角线的中点性质、射影定理的适用条件）。

1. 全屏展示与退出

• 点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。

二、用途说明与应用场景

1. 学生端（针对 “矩形 + 射影定理的设元求解” 场景）

• 理解矩形对角线性质：明确矩形中对角线相等且互相平分的特点；

• 掌握射影定理的应用：识别 “∠BAD=90°、AE⊥BD” 对应的射影定理关系，结合线段设元法完成计算；

• 完成长度求解：通过设元、射影定理的串联，求出 AE 的长度。

1. 教师端（针对 “矩形与射影定理的综合教学” 场景）

• 高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “矩形性质→线段设元→射影定理计算” 的解题链条，替代手绘辅助线；

• 分层适配教学：基础层聚焦 “矩形对角线的中点性质、射影定理的基本关系”，进阶层聚焦 “设元法与射影定理的结合计算”；

• 关联模型本质：辅助学生明确本题是 “射影定理” 在矩形对角线场景中的应用，强化特殊图形性质与几何定理的融合思维。

三、教学应用案例（适配矩形 + 射影定理综合课流程）

1. 情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“矩形 ABCD 中，AE⊥BD 且 BE:ED=1:3、AD=6cm，如何结合矩形性质与射影定理，求出 AE 的长度？”

2. 操作演示（8 分钟）

• 点击 “初始化”，引导学生识别 “矩形、AE⊥BD、BE:ED=1:3、AD=6” 的核心条件；

• 点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“矩形对角线的中点能推出 BD 的线段关系吗？”“AE⊥BD 时，射影定理对应的线段关系是什么？”；

• 点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生通过设元、射影定理计算 AE 的长度。

1. 互动任务（3 分钟）

• 基础层任务：说明矩形对角线的中点性质，以及 AE⊥BD 对应的射影定理关系；

• 进阶层任务：推导 AE 的长度，并说明用到的矩形性质、设元方法与射影定理。

1. 总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是矩形性质与射影定理的综合应用，先利用矩形对角线中点拆分线段，再通过设元结合射影定理计算线段长度，最后应用射影定理求出 AE，是特殊图形性质与几何定理结合的典型题型。”