初中几何模型 - 射影定理典例 3（圆的垂径定理 + 射影定理的长度求解问题）操作说明
一、操作指南
初始化布局
点击 “初始化” 按钮，可将图形恢复至基础状态：呈现⊙O（直径 AB）、弦 CD（AB⊥CD 于 E），标注 CD=AE=8，同时清除所有解题辅助线与构造元素。
全显示构造元素
点击 “全显示” 按钮，可一次性展示本题解题所需的核心构造内容：标注垂径定理结论（CE=DE=4）、半径 OC=OA 的标识、Rt△OCE 的直角标识，以及设元（OE=x）的线段关系。
分步构造展示
点击 “下一步” 按钮：按解题逻辑逐步呈现构造流程 —— 先由 AB⊥CD，根据垂径定理得 CE=CD/2=4；再设 OE=x，结合 AE=8，得半径 OA=OC=AE - OE=8 - x；最后在 Rt△OCE 中，由勾股定理 OC²=OE²+CE²，代入得 (8 - x)²=x²+4²，解方程求出 OE 的长度；
点击 “上一步” 按钮：可回退至前一构造环节，便于聚焦某一步的逻辑（如垂径定理的应用、勾股定理的设元）。
全屏展示与退出
点击界面的全屏按钮，可将图形及构造元素切换至全屏模式；在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键即可恢复原界面布局。
二、用途说明与应用场景
学生端（针对 “圆的垂径定理 + 射影定理的综合求解” 场景）
理解垂径定理核心：掌握 “直径垂直弦则平分弦” 的垂径定理应用，明确 CE=DE 的依据；
掌握设元与勾股结合：通过设 OE 为未知数，结合半径与线段的关系，利用勾股定理（关联射影定理的直角三角形性质）求解长度；
完成长度求解：通过垂径定理、设元、勾股定理的串联，求出 OE 的长度。
教师端（针对 “圆与射影定理的综合教学” 场景）
高效演示解题流程：通过 “分步展示 + 全显示”，清晰呈现 “垂径定理分弦→设元表半径→勾股定理求解” 的解题链条，替代手绘辅助线；
分层适配教学：基础层聚焦 “垂径定理的应用、直角三角形的识别”，进阶层聚焦 “设元法与勾股定理的结合计算”；
关联模型本质：辅助学生明确本题是 “垂径定理” 与 “射影定理（直角三角形勾股）” 的综合应用，强化圆与几何定理的融合思维。
三、教学应用案例（适配圆 + 射影定理综合课流程）
情境导入（4 分钟）展示初始化后的图形，提出问题：“⊙O 中，直径 AB 垂直弦 CD，已知 CD=AE=8，如何结合垂径定理与勾股定理，求出 OE 的长度？”
操作演示（8 分钟）
点击 “初始化”，引导学生识别 “直径 AB、AB⊥CD、CD=AE=8” 的核心条件；
点击 “下一步” 进行分步展示，每展示一步暂停并提问：“AB 垂直 CD 能推出 CD 的半长吗？”“如何用 OE 表示半径 OC？”；
点击 “全显示”，完整呈现构造元素后，引导学生列勾股定理方程并求解 OE。
互动任务（3 分钟）
基础层任务：说明垂径定理在本题中的应用结论（CE 的长度）；
进阶层任务：推导 OE 的长度，并说明用到的垂径定理、设元方法与勾股定理。
总结（2 分钟）梳理核心逻辑：“本题是圆的垂径定理与直角三角形勾股定理的综合应用，先通过垂径定理确定弦的半长，再设元关联半径与线段，最后利用勾股定理求解 OE，是圆的性质与几何定理结合的典型题型。”
浏览量：2080
