初中几何模型 - 勾股树模型 - 月牙定理（希波克拉底）
一、操作指南（适配考生网交互式几何学习场景）
初始化点击 “初始化” 按钮后，包含 Rt△ABC（∠C=90°）、以 AB/AC/BC 为直径的半圆（形成月牙 S₁、S₂）的图形会恢复至典例初始布局，重置所有展示状态，确保探究起点一致。
全显示点击 “全显示” 按钮后，会一次性呈现 “Rt△ABC（∠C=90°）的标注→以 AB、AC、BC 为直径的半圆的图形标注→月牙 S₁、S₂的面积区域标注” 的完整元素，明确月牙定理的核心图形结构。
步骤切换（上一步 / 下一步）点击 “下一步” 按钮，可逐步展示月牙定理模型的构建流程（点击 “上一步” 可回退）：
操作步骤 1：展示 “绘制 Rt△ABC（∠C=90°）” 的基础图形；
操作步骤 2：展示 “以 AC、BC 为直径作半圆” 的图形添加效果；
操作步骤 3：展示 “以 AB 为直径作半圆” 的图形添加效果（形成月牙区域）；
操作步骤 4：展示 “月牙 S₁、S₂的区域标注”。
C 点动画与暂停
点击 “C 点动画” 按钮，展示点 C 在保持∠C=90° 的前提下运动的过程，观察不同直角三角形布局下月牙模型的变化；
点击 “暂停 C 点” 按钮，可停止点 C 的动画，固定当前图形布局。
数据验证勾选 “数据验证” 选项，可展示 “月牙 S₁、S₂的面积和与 Rt△ABC 的面积” 的数量关系数据，直观验证希波克拉底月牙定理的结论。
C 点拖动调整拖动点 C（保持∠C=90°），可自主调整 Rt△ABC 的形状，观察月牙定理在不同直角三角形下的普适性。
全屏播放与退出点击界面中图形区域的 “全屏播放” 按钮：可将模型与操作界面切换至全屏模式，优化展示效果；退出全屏：在全屏模式下，按下键盘 “ESC” 键，即可恢复原界面布局。
二、用途说明（含分层教学适配）
（1）对学生
掌握月牙定理的图形操作策略通过分步展示与动画操作，明确 “以直角三角形三边为直径作半圆→形成月牙区域” 的图形构建策略，攻克月牙定理的图形识别与构造难点。
强化勾股定理的拓展应用能力借助数据验证与 C 点拖动操作，理解 “月牙面积和与直角三角形面积的等价关系”，掌握勾股定理在面积（半圆、月牙）场景中的拓展应用。
构建勾股树模型的操作体系结合考生网 “初中几何模型” 系列内容，联动理解 “直角三角形→半圆→月牙” 的勾股树模型特征，形成以图形构造为核心的月牙定理分析框架。
（2）对教师
高效展示月牙定理的动态构建逻辑无需手动分步绘制图形，通过 “步骤切换 + C 点动画” 快速呈现模型的构建与变化过程，节省课堂中定理演示的时间。
分层教学适配全层次学生
基础层学生：通过步骤展示，配套 “标记 Rt△ABC 与月牙区域” 的任务，掌握基础图形操作步骤；
进阶层学生：结合数据验证与 C 点拖动，梳理 “勾股定理→半圆面积关系→月牙面积与三角形面积等价” 的逻辑链条，总结月牙定理的应用规律。
丰富课堂互动形式以 “动画演示 + 数据验证 + 点拖动” 替代传统板书讲解，让月牙定理的探究更具动态性与直观性，提升学生课堂参与度。
三、教学应用案例与实施策略
（1）课堂教学案例：八年级 “勾股树模型 - 月牙定理” 操作课（20 分钟片段）
情境导入展示初始布局的月牙定理模型，提问 “直角三角形三边对应的半圆围成的月牙区域，其面积与三角形面积有怎样的关系？”，引出本模型的操作演示；
模型操作
点击 “初始化”，恢复模型初始布局；
点击 “全显示”，完整呈现 Rt△、半圆、月牙的所有元素；
点击 “下一步”，逐步展示模型构建流程，引导学生识别每一步的图形元素；
点击 “C 点动画”，展示 C 点运动时模型的变化；
勾选 “数据验证”，展示面积关系数据；
拖动 C 点调整位置，观察定理的普适性；
点击全屏按钮，在大屏展示完整操作流程；
分层任务
基础层：在展示界面中标记 Rt△ABC 与月牙 S₁、S₂的区域，明确模型的基础图形元素；
进阶层：结合数据验证结果，自主描述月牙面积与 Rt△ABC 面积的关系，梳理其与勾股定理的关联逻辑；
总结反馈引导学生结合操作内容，总结 “月牙定理的操作要点（核心：直角三角形 + 三边半圆→月牙面积等价于三角形面积；操作：通过动画与拖动验证普适性）”，强化对勾股树模型中月牙定理的认知。
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